Секој компјутерски систем е составен од голем број на дигитални струјни кола (кола со две можни состојби: 1 - on, и 0 - off). Во компјутерските системи, со користење на комбинации од нули и единици (т.н. бинарни шеми), може да се чуваат секакви податоци (нумерички вредности: 58, -123, 3.14; знаци: t, A, *, !; реченици: "Zdravo Pero", "Како сте?"; слики...).

Конкретно, податоците може да се претстават на неколку начини: преку разлика во напони (ова се случува кај транзисторите), магнетни поларитети (се случува кај тврдите дискови), микроскопски точки кои различно одбиваат светлина (се случува кај компактните дискови), итн. На пример, транзистор со напон од 5 волти може да се смета за вклучен (on), додека транзистор со напон од 0 волти да се смета за исклучен (off).

Пред да ги дефинираме термините бинарен броен систем и бинарен број, добро е да се потсетиме на неколку основни математички поими. Во училиште, кога првпат се запознававме со декадниот броен систем (системот кој го користиме за претставување на броеви), ни беше кажано дека основните вредности (цифрите) се организирани во колони (единици, десетки, стотки, итн.), и секоја колона е 10 пати позначајна од претходната. Да го земеме за пример бројот 3678 (3 илјади, 6 стотки, 7 десетки и 8 единици):

3|6|7|8 = 3*1000 + 6*100 + 7*10 + 8

Очигледно, постои голема поврзаност помеѓу декадниот броен систем и степените на бројот 10. За да ја добиеме вредноста на еден цел број потребно е да ја помножиме цифрата на единиците со 10⁰=1, цифрата на десетките со 10¹=10, цифрата на стотките со 10²=100, цифрата на илјадарките со 10³=1000 итн, и така добиените вредности да ги собереме. Конкретно,

3678 = 3*10³ + 6*10² + 7*10¹ + 8*10⁰ = 3000 + 600 + 70 + 8 = 3678

Декадниот броен систем ги користи цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 за претставување на нумерички вредности (броеви). Да пробаме да броиме во декадниот броен систем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, стоп. Сега имаме проблем - не постојат повеќе цифри за пишување. Продолжуваме со броење така што додаваме нова колона од цифри (десетки), која вреди десет пати повеќе од претходната колона (единиците). Продолжуваме: 10, 11, 12, 13, 14, ..., 98, 99, стоп. Сега додаваме трета колона од цифри (стотки) и продолжуваме: 100, 101, 102, ... Забележете дека најзначајната колона се менува најретко, додека најмалку значајната колона (единиците) се менува постојано.

Сега, да видиме како може да ги претставиме сите овие броеви во т.н. бинарен броен систем. Бинарниот броен систем е броен систем кој овозможува претставување на нумерички вредности со помош на два симбола (две цифри): 0 и 1. Бинарниот броен систем функционира на ист начин како и декадниот броен систем, со таа разлика што наместо колоните да вредат десет пати повеќе од соодветните колони пред нив (10³, 10², 10¹, 10⁰), тие вредат два пати повеќе (2³, 2², 2¹, 2⁰). Нормално, наместо 10, сега ни се потребни само 2 цифри (0 и 1).

Како што направивме со декадниот броен систем, да се обидеме да броиме во бинарниот броен систем: 0, 1, стоп. Немаме повеќе цифри за пишување. Додаваме нова колона од цифри (двојки), која вреди два пати повеќе од претходната колона (единиците). Продолжуваме да броиме: 10, 11, стоп. Додаваме уште една колона (четворки). Продолжуваме со броење: 100, 101, 110, 111, стоп. Додаваме нова колона (осмици), и продолжуваме со броење: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, ...

На следната табела се дадени броевите од 1 до 20, претставени во декаден и во бинарен броен систем.

Претворање (од бинарен во декаден броен систем)

Како може да претвориме одреден број претставен во бинарниот броен систем во декаден броен систем? Едноставно, треба да ги собереме производите на бинарните цифри со вредностите на колоните во кои тие се наоѓаат (степените на 2). На пример, бинарниот број 1001001101 може да се претвори во декадна форма со пресметување на следниот збир:

[1 * (2⁹)] + [0 * (2⁸)] + [0 * (2⁷)] + [1 * (2⁶)] + [0 * (2⁵)] + [0 * (2⁴)] + [1 * (2³)] + [1 * (2²)] + [0 * (2¹)] + [1 * (2⁰)] =
= [1 * 512] + [0 * 256] + [0 * 128] + [1 * 64] + [0 * 32] + [0 * 16] + [1 * 8] + [1 * 4] + [0 * 2] + [1 * 1] = 512 + 64 + 8 + 4 + 1 = 589.

Значи, 1001001101 (претставено бинарно) е еднакво на 589 (претставено декадно). Компјутерот не ја запишува директно вредноста 589 - во некоја лента или на некој диск, како што ние го правиме тоа на лист хартија. Тој го претвора бројот 589 во бинарен броен систем и го претставува она што ние го знаеме како 589 со 1001001101, преку комбинација од транзистори со вредност 1 (има напон) и 0 (нема напон). Нормално, не мора да се работи за транзистори со напон - како што кажавме на почетокот, кај различни компјутерски делови (тврди дискови, компактни дискови, меморија, итн.) запишувањето се прави на различен начин.

На светот постојат 10 типа на луѓе: оние кои разбираат бинарни броеви и оние кои не разбираат.

Обидете се да ги претворите следниве бинарни броеви во декаден броен систем. Потоа, кликнете на копчето "прикажи" за да го проверите вашиот резултат.

Претворање (од декаден во бинарен броен систем)

Останува уште да прикажеме како може да се претвори еден број од декаден во бинарен броен систем. Да започнеме со поедноставниот начин за сфаќање: претворање со одземање на најголемиот можен степен на 2.

Да пробаме да го претвориме бројот 589. Започнуваме така што ги генерираме сите степени на 2 помали или еднакви на 589: тоа се 1, 2 (1*2), 4 (2*2), 8 (4*2), 16 (8*2), 32 (16*2), 64, 128, 256 и 512 (следниот број е 1024 и 1024 > 589). Кога сме го направиле ова, почнуваме со одземање на 589 од најголемиот степен на 2 (тоа е 512). 589-512=77. Сега продолжуваме со истата постапка, само од бројот 77. Кој е најголемиот степен на 2 кој може да се одземе од 77 и да се добие број поголем или еднаков на 0? Тоа е бројот 64. 77-64=13. Продолжуваме со истата постапка, само со бројот 13. Кој е најголемиот степен на 2 кој може да се одземе од 13? Тоа e 8. 13-8=5. Продолжуваме со 5. 5-4=1. Продолжуваме со 1. Кој е најголемиот степен на 2 кој може да се одземе од 1 и да се добие број поголем или еднаков на 0? Тоа е, нормално, 1. 1-1=0. Добиваме 0 и тука постапката завршува.

Запишете ги сега степените на 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512) од десно на лево (1 најдесно, 512 најлево) и ставете единица (1) кај колоните кои соодветствуваат на степените од кои одземавме (512, 64, 8, 4 и 1) и нула (0) кај останатите.

Па, која е бинарната вредност на 589? Тоа е:

 512 | 256 | 128 |  64 |  32 |  16 | 8 | 4 | 2 | 1
  1  |  0  |  0  |  1  |  0  |  0  | 1 | 1 | 0 | 1

Записот 1001001101 го добивме така што ставивме единица кај колоните кои соодветствуваат на степените на 2 од кои одземавме (512, 64, 8, 4 и 1). Сите останати бинарни цифри се 0.

Значи, 589 (прикажано декадно) е еднакво на 1001001101 (прикажано бинарно).

Обидете се да ги претворите следниве броеви во бинарен броен систем. Потоа, кликнете на копчето "прикажи" за да го проверите вашиот резултат.

Предавањето ќе го завршиме со разгледување на уште еден начин за претворање на броеви од декаден во бинарен броен систем: оној начин кој се учи на училиште (барем се учеше кога јас одев на училиште). Постапката оди вака: најпрвин треба да направиме табела со 2 колони - првата колона ќе го означува тековниот број, додека втората колона ќе означува дали тој број е парен или не (доколку е бројот парен запишуваме 0, а доколку е непарен – не се дели со 2, запишуваме 1). Потоа, започнуваме со бројот кој сакаме да го претставиме бинарно (во нашиот случај 589), и запишуваме 1 или 0 во втората колона доколку бројот е непарен или парен (соодветно). Во случајов, 589 е напарен број и запишуваме 1. Сега, го делиме тековниот број со 2 и продолжуваме понатаму на истиот начин. Во нашиот случај, го делиме 589 со 2 (резултатот е 294, остатокот се отфрла) и го запишуваме резултатот во следниот ред од табелата. Продолжуваме со оваа постапка се додека не добиеме резултат 0 (тој ред не го запишуваме во табелата).

Бинарната вредност може да се прочита од втората колона во табелата, гледано од доле нагоре (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1). Значи, 589 (претставено декадно) е еднакво на 1001001101 (претставено бинарно).

Двете постапки секогаш резултираат со добивање на точната вредност. Користете ја постапката која вам најмногу ви одговара.

Дозвола за користење: CC BY-NC 2.5 ©